Cho lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B

19/22

Cho lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\) với \(AB = a\), \({A^\prime }B = a\sqrt 7 \). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A{B^\prime }C} \right),(ABC)\).

Giải thích

Cho lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B (ảnh 1)

Gọi \[I\] là trung điểm \(AC\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {A{B^\prime }C} \right) \cap (ABC) = AC}\\{{\rm{ Trong }}(ABC),BI \bot AC}\\{{\rm{ Trong }}\left( {A{B^\prime }C} \right),{B^\prime }I \bot AC}\end{array} \Rightarrow \left( {\left( {A{B^\prime }C} \right),(ABC)} \right) = \left( {{B^\prime }I,BI} \right) = \widehat {{B^\prime }IB}} \right.\)

Ta có: \(BI = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};B{B^\prime } = \sqrt {{{(a\sqrt 7 )}^2} - {a^2}} = \sqrt 6 a\)

Xét \(\Delta {B^\prime }BI\) vuông tại \[B\]: tanB'IB^=BB'BI=6aa22=23⇒B'IB^≈73,9°