Cho lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

77/235

Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$. Gọi $D$ là trung điểm cạnh BC. Biết $AA' = 2a$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $C'D$ là:

$a\sqrt {17} $.

$\frac{a}{{\sqrt {17} }}$.

$2a\sqrt {17} $.

$\frac{{2a}}{{\sqrt {17} }}$.

Giải thích

Phương pháp giải

Gọi $D'$ là trung điểm của $B'C'$.
Kè $B'H \bot BD'$.
Chứng minh $d\left( {A'B;C'D} \right) = B'H$.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính $B'H$.

Giải chi tiết

$Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$. (ảnh 1)$

Gọi $D'$ là trung điểm của $B'C'$, ta có $BDC'D'$ là hình bình hành
$ \Rightarrow C'D//BD' \Rightarrow C'D//\left( {A'BD'} \right)$.
Kè $B'H \bot BD'$.
Ta có: $\begin{array}{*{20}{l}}{A'D' \bot B'C'}\\{A'D' \bot BB'}\end{array}\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right\} \Rightarrow A'D' \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow A'D' \bot B'H$.
$\begin{array}{*{20}{l}}{B'H \bot BD'}\\{B'H \bot A'D'}\end{array}\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right\} \Rightarrow B'H \bot \left( {A'BD'} \right)$.
Suy ra, $d\left( {A'B,C'D} \right) = d\left( {C'D;\left( {A'BD'} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {A'BD'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {A'BD'} \right)} \right) = B'H$.
Ta có: $B'D' = \frac{a}{2};BB' = 2a$.

Xét vuông tại $B'$ ta có: $\frac{1}{{B'{H^2}}} = \frac{1}{{B{B^{'2}}}} + \frac{1}{{B'{D^{'2}}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{2a}}{{\sqrt {17} }}$.

Đáp án cần chọn là: D