Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a

13/235

Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), tâm \(O\) và \(\widehat {ABC} = {120^ \circ }\). Góc giữa cạnh bên \(AA'\) và mặt đáy bằng \({60^ \circ }\). Đỉnh \(A'\) cách đều các điểm \(A,B,D\). Tính theo \(a\) thể tích khối lăng trụ đã cho.

\(V = \frac{{3{a^3}}}{2}{\rm{.\;}}\)

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

\(V = {a^3}\sqrt 3 \).

Giải thích

Đáp án

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Giải thích

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (ảnh 1)

Hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a,\,\,\widehat {ABC} = {120^ \circ }\) nên góc \(\widehat {BAD} = {60^ \circ }\), suy ra tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\). Diện tích đáy \(ABCD\) là\(S = 2.{S_{ABD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Ta có \(A'H \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tính được \(AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Góc giữa \(AA'\) và mặt đáy bằng góc \(\widehat {A'AH} = {60^ \circ }\).

Ta có \(A'H = AH.{\rm{tan}}{60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\).

Thể tích lăng trụ \(V = A'H.S = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).