Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD à hình chữ nhật tâm O và AB = a, AD = a căn bậc hai 3; A'O vuông góc với đáy (ABCD). Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 45 độ. Tính theo a thể

57/78

Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\) và \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \); \(A'O\) vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Cạnh bên \[AA'\] hợp với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \(45^\circ \). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\).

\(V = {a^3}\sqrt 3 \).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD à hình chữ nhật tâm O và AB = a, AD = a căn bậc hai 3; A'O vuông góc với đáy (ABCD). Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 45 độ. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. (ảnh 1)

Vì \[A'O \bot \left( {ABCD} \right)\] nên hình chiếu của \(AA'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AO\).

Do đó góc giữa \[AA'\] và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {A'AO} = 45^\circ \).

Đường chéo hình chữ nhật \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = a\).

Suy ra tam giác \(A'OA\) vuông cân tại \(O\) nên \(A'O = AO = a\).

Diện tích hình chữ nhật \({S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'O = {a^3}\sqrt 3 .\)