Cho lăng trụ ABC.A'B'C′ , đáy là tam giác đều cạnh a , AA ′ = AB ′ = AC ′ = a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng.

Giải chi tiết

Ta thấy \(A \cdot A'B'C'\) là tứ diện đều cạnh \(a\).
Mà \({V_{A \cdot A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC \cdot A'B'C'}} \Rightarrow {V_{ABC \cdot A'B'C'}} = 3{V_{A \cdot A'B'C'}}\)
Gọi \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A'B'C'\).
Thì \(AH\) là đường cao của hình chóp \(A \cdot A'B'C'\).
Ta có \(A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác \(AA'H\) vuông tại \(H\) nên:
\(A{H^2} = A{A^{'2}} - A'{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{6{a^2}}}{9} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Diện tích tam giác \(A'B'C'\) là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) nên thể tích khối tứ diện \(AA'B'C'\) là:
\({V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}AH.S = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)Vậy thể tích khối lăng trụ là: \(V = 3 \cdot {V_{A \cdot A'B'C'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B