Cho lăng trụ ABC.A'B'C' đáy là tam giác  ABC vuông tại A,AB = a,BC = a căn bậc hai của 3 , hình chiếu vuông góc của B' trên mặt phẳng (ABC) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giá

Hướng dẫn giải

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2  = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Ta có \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {AB',\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {B'AH} = 60^\circ \).

Xét tam giác ABC vuông tại A có: \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Xét tam giác \(AHB'\) vuông tại H có: \(B'H = AH.\tan \widehat {B'AH} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\tan 60^\circ  = a\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.B'H = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2  = {a^3}\).