Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC = 2HB

92/235

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC = 2HB. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (B'AC) bằng

$\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

$\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$a\sqrt 3 $

Giải thích

Phương pháp giải

Dựng $HE \bot AC;HF \bot B'E$ khi đó $d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{3}{2} \cdot HF = a\sqrt 3 $

Giải chi tiết

$Cho lăng trụ $ABC. A'B'C'$có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a. (ảnh 1)$

Ta có: $BC = 3a\sqrt 2 \Rightarrow HB = a\sqrt 2 $.
Lai có $B'H = \sqrt {B{B^2} - H{B^2}} = a\sqrt 2 $.
Dưng $HE \bot AC;HF \bot B'E$.
Suy ra $HF \bot \left( {B'AC} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {B'AC} \right)} \right) = HF$.
Ta có $\frac{{HE}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HE = 2a$.
Suy ra $\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{B'{H^2}}} \Rightarrow HF = \frac{{HE \cdot B'H}}{{\sqrt {H{E^2} + B'{H^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$.
Mặt khác $\frac{{d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {B'AC} \right)} \right)}} = \frac{{BC}}{{HC}} = \frac{3}{2}$.
Do đó $d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{3}{2} \cdot HF = a\sqrt 3 $.

Đáp án càn chọn là: D