Cho lăng trụ ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết hình chiếu của đỉnh A' trên mặt đáy (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn HA = 2HB và góc giữa mặt bên (A'C'CA) và mặt đáy (A

9/40

Cho lăng trụ \[ABC.A'B'C'\], có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh $a$. Biết hình chiếu của đỉnh $A'$trên mặt đáy \[\left( {ABC} \right)\] là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ thỏa mãn $HA = 2HB$ và góc giữa mặt bên $\left( {A'C'CA} \right)$ và mặt đáy \[\left( {ABC} \right)\] bằng $45^\circ .$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

$\frac{1}{4}{a^3}.$

$\frac{3}{4}{a^3}.$

$\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}.$

$\frac{1}{{12}}{a^3}.$

Giải thích

$\right) = 8\). Chọn C. (ảnh 1)$

Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ và $K$là hình chiếu vuông góc của $H$lên $AC$.

Do tam giác $ABC$là tam giác đều nên $BI \bot AC$ và $AK = \frac{2}{3}AI$.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {A'KH} = 45^\circ $.

Xét tam giác vuông $A'HK$ ta có:

$\tan 45^\circ = \frac{{A'H}}{{HK}} = \frac{{A'H}}{{\frac{2}{3}BI}} = \frac{{A'H}}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}a}} \Rightarrow A'H = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a$.

Vậy thể tích của khối lăng trụ ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot A'H = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}a = \frac{1}{4}{a^3}$. Chọn A.