Cho α, β là hai góc thỏa mãn α, β ∈ (pi/2; pi) và sinα = 1/3, cosβ = −2/3. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Phương trình tách thành hai trường hợp: \({\rm{cos}}x = \frac{1}{2}\) (1) hoặc \({\rm{sin}}2x = m\) (2).

Xét phương trình (1): \({\rm{cos}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \). Trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\), phương trình (1) có duy nhất một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3}\).

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm trên khoảng xét, phương trình (2) phải tạo ra thêm đúng 1 nghiệm mới.

Đặt \(t = 2x\). Vì \(x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\). Phương trình trở thành \({\rm{sin}}t = m\).

Dựa vào đường tròn lượng giác, để \({\rm{sin}}t = m\) có đúng 1 nghiệm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) thì xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp giá trị biên cực đại: \(m = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2} \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\) (thỏa mãn, là nghiệm mới).

Trường hợp nghiệm của (2) trùng với nghiệm của (1): \(x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow m = {\rm{sin}}\frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Khi \(m = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), phương trình (2) sinh ra hai nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{\pi }{3}\) trên khoảng xét. Vì \(x = \frac{\pi }{3}\) đã trùng với nghiệm của (1) nên chỉ có thêm 1 nghiệm mới duy nhất là \(x = \frac{\pi }{6}\).

Vậy các giá trị \(m\) thỏa mãn gồm \(m = 1\) và \(m = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0,87\). Tổng các giá trị của \(m\) là \(1 + 0,87 = 1,87\).

Đáp số: 1,87.