Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 27. Điểm M di động trên đoạn thẳng BC (M khác B,C), điểm S di động trên đường thẳng CD.

Đáp án: 8

Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Do CD//(MNPQ) và S∈CD nên d(S,(MNPQ))=d(C,(MNPQ))

Suy ra VS.MNPQ=VC⋅MNPQ=2 VC.MNQ

Đặt MC=x,MB=y

Vì MN//PQ nên CMCB=CNCA=xx+y

⇒SΔCMNSΔCBA=CMCB.CNCA=x2(x+y)2⇒VC.MNQ=VQ.CMN=13 d(Q,(MNC)).SΔMNC

Mà d(Q,(MNC))d(D,(MNC))=QBDB=BMBC=xx+y

⇒VC.MNQ=13yx+yd(D,(MNC)).x2(x+y)2SΔABC=x2y(x+y)3VABCD

=27x2y(x+y)3=27yx1+yx3=27t(1+t)3 với t=yx>0

Xét hàm số f(t)=27t(1+t)3,t>0 có f'(t)=27(1−2t)(1+t)4;f'(t)=0⇔t=12

Lập bảng biến thiên ta được max(t)=f12=4

Vậy maxVS.MNPQ=8⇔MC=2MB