Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng a √ 3 và hai đường thẳng AB′, BC′ vuông góc với nhau. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

61/100

Phần tư duy toán họcCho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng $a\sqrt 3 $ và hai đường thẳng AB′, BC′ vuông góc với nhau. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

$6{a^3}$.

$\frac{5}{2}{a^3}$.

${a^3}$.

$\frac{9}{2}{a^3}$.

Giải thích

$Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng $a\sqrt 3 $ và hai đường thẳng AB′, BC′ vuông góc với nhau. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho (ảnh 1)$

Dựng hình hộp $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Ta có $B{C^\prime }//A{D^\prime }$ và ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình thoi.

Gọi ${A^\prime }{B^\prime } = x \Rightarrow {B^\prime }{D^\prime } = x\sqrt 3 $.

Vì $B{C^\prime }//A{D^\prime }$ và $A{B^\prime } \bot B{C^\prime } \Rightarrow A{B^\prime } \bot A{D^\prime }$ và $A{B^{\prime 2}} = A{A^{\prime 2}} + {A^\prime }{B^{\prime 2}} = {x^2} + 3{a^2}$.

Vì $\Delta A{A^\prime }{D^\prime } = \Delta A{A^\prime }{B^\prime } \Rightarrow A{B^\prime } = A{D^\prime } = {x^2} + 3{a^2}$.

Ta có: ${B^\prime }{D^{\prime 2}} = A{B^{\prime 2}} + A{D^{\prime 2}} = 2{x^2} + 6{a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 6 $.

Khi đó, S△ABC=(a6)234=3a232⇒VABC.A'B'C'=3a232.a3=9a32

Chọn D