Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 2a

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính thể tích bằng công thức

Lời giải

Vì \(ABC.A'B'C'\) là khối lăng trụ tam giác đều nên \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\Delta ABC\) đều.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI \bot BC}\\{AA' \bot BC}\end{array} \Rightarrow A'I \bot BC} \right.\).

Khi đó, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{AI \bot BC}\\{A'I \bot BC}\end{array}} \right.\) nên\(\widehat {\left( {A'BC),\left( {ABC} \right)} \right.} = \left( {\widehat {AI,A'I}} \right) = \widehat {AIA'} = {30^ \circ }\).

Trong tam giác vuông \(AIA'\), ta có \(AI = \frac{{AA'}}{{{\rm{tan}}{{30}^ \circ }}} = 2a\sqrt 3 \).

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \frac{2}{{\sqrt 3 }}AI = 4a\).

Vậy thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2a.\frac{{{{(4a)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 8\sqrt 3 {a^3}\).