Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Biết số đo góc nhị diện [A', BC, A] bằng 30° và tam giác A'BC có diện tích bằng 32. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A'C' bằng bao nhiêu?

Trả lời: 4.

Gọi \(a = AB\).

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác đều nên đáy \(ABC\) là tam giác đều và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong  đều, ta có \(AM \bot BC\).

Vì \(AA' \bot (ABC)\) và \(AM \bot BC\), suy ra \(A'M \bot BC\). Do đó, \([A',BC,A] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \).

Trong tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), ta có\(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(A'AM\) (vuông tại \(A\)) ta có\(AA' = AM\tan (\widehat {A'MA}) = \frac{a}{2}\).

\(A'M = \frac{{AM}}{{\cos (\widehat {A'MA})}} = a\).
\({S_{A'BC}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A'M\)\( = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Theo đề bài, \({S_{A'BC}} = 32\), nên \(\frac{{{a^2}}}{2} = 32 \Rightarrow a = 8\) (vì \(a > 0\)).

Từ đó, chiều cao của lăng trụ là \(AA' = \frac{a}{2} = 4\).

Ta có \(AB\parallel A'B'\) (vì \(ABB'A'\) là hình chữ nhật).

Mà \(A'B' \subset (A'B'C')\).

Suy ra \(AB\parallel (A'B'C')\).

Suy ra \(d\left( {AB,A'C'} \right) = d\left( {AB,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA'\).

Vậy \(d(AB,A'C') = AA' = 4\).