Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA ′ = a . Các mặt bên ( A ′AB ) và ( A ′AC ) cùng hợp với đáy ( ABC ) một góc 60 ∘ .

9/48

Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $AA' = a$. Các mặt bên $\left( {A'AB} \right)$ và $\left( {A'AC} \right)$ cùng hợp với đáy $\left( {ABC} \right)$ một góc $60^\circ $. Thể tích khối chóp $A'.ABC$ là:

$\frac{{3\sqrt 7 }}{{28}}{a^3}$.

$\frac{{3\sqrt 7 }}{4}{a^3}$.

$\frac{{\sqrt 7 }}{4}{a^3}$.

$\frac{{\sqrt 7 }}{{28}}{a^3}$.

Giải thích

$Gọi $H,K$ lần lượt là hình (ảnh 1)$

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A'$ trên các cạnh $AB,AC$.

Vẽ đường cao $A'O$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'\left( {O \in \left( {ABC} \right)} \right)$

Ta có $OH \bot AB,OK \bot AC$ và $\widehat {OKA'} = \widehat {OHA'} = 60^\circ $.

Suy ra $OH = OK$. Do đó $AO$ là phân giác $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {OAK} = 30^\circ $.

Đặt $AH = AK = x$.

Ta có $A'O = OK \cdot \tan 60^\circ = AK \cdot \tan 30^\circ \cdot {\rm{tan}}60^\circ = AK = x$.

$A'{O^2} = A{A'^2} - O{A^2} = {a^2} - \frac{4}{3}{x^2}$. Từ đó suy ra ${x^2} = {a^2} - \frac{4}{3}{x^2} \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Vậy ${V_{A'.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot A'O \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {21} }}{7} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{{28}}$. Chọn D.