Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C’?

Lời giải

Do ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đứng nên BB’ ⊥ (A’B’C’).

Kẻ A’H’ ⊥ B’C’.

Khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

Suy ra BB’ = A’B’ = B’C’ = a.

Do ∆A’B’C’ đều nên A’H vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của ∆A’B’C’.

Suy ra \[B'H = \frac{{B'C'}}{2} = \frac{a}{2}\].

∆A’B’H vuông tại H: \(A'H = \sqrt {A'{{B'}^2} - B'H} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ là:

\(V = \frac{1}{3}BB'.{S_{A'B'C'}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}A'H.B'C' = \frac{1}{6}.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Vậy thể tích khối tứ diện A’BB’C’ bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).