Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 4 căn bậc hai của 2 và đáy là tam giác ABC vuông cân tại C, có AC = 4. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’, tính khoảng cách giữa hai đư

20/22

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có độ dài cạnh bên bằng $4\sqrt 2 $ và đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, có $AC = 4$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AA'$, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $C'M$ và $AB$ (không làm tròn ở các bước trung gian).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 2

$Đáp án: 2 Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho \(C (ảnh 1)$

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $C \equiv O\left( {0;0;0} \right)$, $CA$ nằm trên trục $Ox$, $CB$ nằm trên trục $Oy$ và $CC'$ nằm trên trục $Oz$. Khi đó: $C\left( {0;0;0} \right)$, $A\left( {4;0;0} \right)$, $B\left( {0;4;0} \right)$, $C'\left( {0;0;4\sqrt 2 } \right)$, $A'\left( {4;0;4\sqrt 2 } \right)$. $M$ là trung điểm $AA'$ nên $M\left( {4;0;2\sqrt 2 } \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;4;0} \right)$, chọn véctơ chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;0} \right)$.

$\overrightarrow {C'M} = \left( {4;0; - 2\sqrt 2 } \right)$, chọn véctơ chỉ phương của $C'M$ là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;0; - \sqrt 2 } \right)$.

$\overrightarrow {AC'} = \left( { - 4;0;4\sqrt 2 } \right)$.

Tích có hướng của hai véctơ chỉ phương:

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - \sqrt 2 }\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - \sqrt 2 }&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 ; - 2} \right)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $C'M$ là:

${\rm{d}}\left( {AB,C'M} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot 0 + \left( { - 2} \right) \cdot 4\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$$ = \frac{{\left| {4\sqrt 2 - 8\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2 + 2 + 4} }} = 2$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $C'M$ và $AB$ bằng $2$.