Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2 và đáy là tam giác ABC vuông cân tại C. Biết rằng CA = CB = 1 và gọi M là trung điểm của cạnh AA′.
Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \[CC'\]\( \Rightarrow AE\parallel MC',\,\left( {E \in CC'} \right)\).
Khi đó: \(d\left( {AB,MC'} \right) = d\left( {MC',\left( {EAB} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {EAB} \right)} \right) = d\left( {C',\left( {EAB} \right)} \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \[AB\] \[ \Rightarrow AB \bot \left( {EKC} \right)\],
Dựng \(CH \bot EK,\,\left( {H \in EK} \right)\)\[ \Rightarrow CH \bot \left( {EAB} \right)\] nên \[d\left( {C,\left( {ABE} \right)} \right) = CH\].
Xét tam giác \(ECK\) vuông tại \(C\)có: \(CK = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,CE = \frac{{CC'}}{2} = 1\).
Do đó: \(CH = \frac{{CK.CE}}{{\sqrt {C{K^2} + C{E^2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}.1}}{{\sqrt {\frac{{{1^2}}}{2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(MC'\) là .