Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’

44/50

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’, biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B’AC) bằng 6a13. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ đã cho.

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’ (ảnh 1)

V=6a3

V=12a3

V=4a3

V=2a3

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’ (ảnh 2)

Ta có SΔABC=12AB.BC=12.3a.4a=6a2.

Gọi H là giao điểm của MB và B'C.

Khi đó, theo định lý Ta-let ta có HMHB=MB'BC=12.

Ta có dM,B'ACdB,B'AC=MHBH=12⇒dB,B'AC=2dM,B'AC=12a13.

Từ B dựng BK vuông góc với AC với K∈AC.

Kẻ BI vuông góc với B'K với I∈B'K.

Vì BK⊥AC,BB'⊥AC nên AC⊥BB'K⇒AC⊥BI.

Ta có BI⊥B'KBI⊥AC⇒BI⊥B'AC⇒BI=dB,B'AC=12a13.

Xét ΔABC vuông tại B, ta có:

AC=AB2+BC2=5a, BK.AC=BA.BC⇔BK=3a.4a5a=12a5.

Xét ΔBB'K vuông tại B có:

1BI2=1BK2+1BB'2⇔1BB'2=112a132−112a52=1a2⇔BB'2=a2⇔BB'=a

Vậy VABC.A'B'C'=SΔABC.BB'=6a2.a=6a3.