Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a , AC = a √ 3 , mặt phẳng ( A ′BC ) tạo với đáy một góc 30 ∘ . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC . A

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'MA} \right)\).

Suy ra \(BC \bot A'M\).

Do vậy, góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và đáy là \(\widehat {A'MA}\) và \(\widehat {A'MA} = 30^\circ \).

Vì \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a\).

Ta có \(AM = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{2}:2a = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(A'AM\) vuông tại \(A\) có \(AA' = AM\tan \widehat {A'MA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \tan 30^\circ = \frac{a}{2}\).

Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).