Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ′BC ) bằng √ 6/3 a , thể tích của một nửa khối lăng trụ đã

Giải chi tiết

Kẻ \(AH \bot A'B,H \in A'B\).
Vì \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot AA'}\end{array}} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Ta có \(BC \bot AH,AH \bot A'B \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Xét tam giác vuông \(AA'B\) vuông tại \(A\), ta có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{9}{{6{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow A'A = a\sqrt 2 \).
Vậy $\frac{1}{2}\cdot V_{ABC\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\cdot S_{△ABC}\cdot A^{\text{'}}A=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}a\cdot a\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$.

Đáp án cần chọn là: D