Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a căn bậc hai của 2. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a/2. Dựa vào dữ kiện trên, hãy cho biế
Đáp án đúng là: Mệnh đề 1: Đúng. Mệnh đề 2: Đúng. Mệnh đề 3: Đúng.
Phương pháp giải:
Gọi H là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AH \bot BC\). Kẻ \(AK \bot A'H\), khi đó AK là khoảng cách từ A đến \(\left( {A'BC} \right)\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.
Lời giải chi tiết:
Mệnh đề 1: Đúng. Tam giác ABC vuông cân tại A có \(BC = a\sqrt 2 \Rightarrow AB = AC = a\). Diện tích đáy \(S = \frac{1}{2}a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Mệnh đề 2: Đúng. Gọi H là trung điểm BC, \(AH \bot BC\). Kẻ \(AK \bot A'H\) thì AK chính là khoảng cách từ A đến \(\left( {A'BC} \right)\), suy ra \(AK = \frac{a}{2}\).
Trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến \(AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Trong tam giác vuông A'AH có đường cao AK:
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{{A'}^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AA' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Mệnh đề 3: Đúng. Góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {A'HA} = \varphi \).
Ta có