Cho khối lăng trụ đứng A B C . A ′ B ′ C ′ có đáy A B C là tam giác vuông cân tại B , A B = a . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ′ B C ) bằng √ 6 3 a , thể tích khối lăng tr

12/21

Cho khối lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \(B\), \[AB = a\]. Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] bằng \[\frac{{\sqrt 6 }}{3}a\], thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

\(\frac{{\sqrt 2 }}{6}{a^3}\).

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^3}\).

\(\sqrt 2 {a^3}\).

\(\frac{{\sqrt 2 }}{4}{a^3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Kẻ

\[AH \bot A'B\], \[H \in A'B\].

Vì \[\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\] \[ \Rightarrow BC \bot AH\].

Ta có \[BC \bot AH,{\rm{ }}AH \bot A'B \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\]. Do đó \[d\left( {A,(A'BC)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\].

Xét tam giác vuông \(AA'B\) vuông tại \[A\], ta có \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}}\]

\( \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{9}{{6{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow A'A = a\sqrt 2 \).

Vậy \[{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'A = \frac{1}{2}a.a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\].