Cho khối lăng trụ đứng A B C . A ′ B ′ C ′ có đáy A B C là tam giác vuông cân tại A , A B = 2 a . Góc giữa đường thẳng B C ′ và mặt phẳng ( A C C ′ A ′ ) bằng 30 ∘ . Thể tích của k

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot AC}\\{AB \bot AA'}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AC'} \right.\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) là góc \(\widehat {BC'A}\).

Trong tam giác vuông \(BC'A\) ta có \(\widehat {BC'A} = 30^\circ ;AB = 2a \Rightarrow AC' = AB \cdot {\rm{cot}}\widehat {BC'A} = 2a \cdot \sqrt 3 \).

Trong tam giác vuông \(ACC'\) ta có \(CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}} = 2\sqrt 2 a\).

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

\(V = CC' \cdot \frac{1}{2}A{B^2} = 2\sqrt 2 a \cdot \frac{1}{2} \cdot 4{a^2} = 4\sqrt 2 {a^3}.\)