Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng 24. Gọi M, N và P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh A ′B ′ , B ′C ′ và BC sao cho M là trung điểm của A'B', BN = 3/4 B ′C ′ và BP =

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Sison.

Giải chi tiết:

    \[{\rm{Ta c\'o }}\frac{{{V_{EBQP}}}}{{{V_{EBMN}}}} = \frac{{EB}}{{EB'}} \cdot \frac{{EQ}}{{EM}} \cdot \frac{{EP}}{{EN}}.\]

Dễ thấy

                        \[\frac{{EB}}{{EB'}} = \frac{{EQ}}{{EM}} = \frac{{BQ}}{{BM}} = \frac{{EB}}{{EB'}} = \frac{{EP}}{{EN}} = \frac{{BP}}{{BN}},\]

do đó

                \[\frac{{{V_{EBQP}}}}{{{V_{EBMN}}}} = {\left( {\frac{{BP}}{{BN}}} \right)^3} = \frac{1}{{27}}.\]

Suy ra

                                                         \[{V_{BMN,BQP}} = \frac{{26}}{{27}}{V_{EBMN}}\qquad (*)\]

Mặt khác

                 \[\frac{{{V_{EBMN}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{EB'}}{{BB'}} \cdot \frac{{B'M}}{{B'A'}} \cdot \frac{{BN}}{{B'C'}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{{16}}.\]

Suy ra

   \[{V_{EBMN}} = \frac{3}{{16}}{V_{ABC.A'B'C'}}\qquad (**)\]

Từ \((*)\) và \((**)\) ta có

                         \[{V_{BMN,BQP}} = \frac{{26}}{{27}} \cdot \frac{3}{{16}}{V_{ABC.A'B'C'}}.\]

                       \[ \Rightarrow {V_{AQPCAMNC}} = \left( {1 - \frac{{26}}{{27}} \cdot \frac{3}{{16}}} \right){V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{59}}{3}.\]