Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường t

Đáp án: 54.

+ \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}\).

+ Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AM = 5.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

+ \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.5\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

+ Đường cao của lăng trụ là \(A'G\)

+ Trong mặt phẳng \(\left( {AA'M} \right)\) dựng \(MK \bot AA'\)

Vì \(BC \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow MK\) là đoạn vuông góc chung của \(BC\) với \(AA' \Rightarrow MK = \frac{{15}}{4}\).

+ Đặt \(A'G = h\).

\(AA' = \sqrt {{h^2} + A{G^2}}  = \sqrt {{h^2} + \frac{{25}}{3}} \).

$S_{△A^{\text{'}}AM}=\frac{1}{2}.MK.A^{\text{'}}A=\frac{1}{2}.A^{\text{'}}G.AM\Rightarrow \frac{5\sqrt{3}.h}{4}=\frac{15}{8}\sqrt{h^2+\frac{25}{3}}$.

\( \Leftrightarrow {h^2} = 25 \Rightarrow h = 5\).

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.h = \frac{{125\sqrt 3 }}{4} \approx 54\).