Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc phẳng nhị diện [A',BD,A) bằng 30 độ Tính độ dài cạnh AA'

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\)\(AC = BD = 2a \Rightarrow AO = a\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'AO} \right) \Rightarrow BD \bot A'O\).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BD} \right) \cap \left( {ABD} \right) = BD\\A'O \bot BD\\AO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {A',BD,A} \right] = \widehat {A'OA} = 30^\circ \).

Xét \(\Delta A'AO\) vuông tại \(A\), ta có:\({\rm{tan}}\widehat {A'OA} = \frac{{AA'}}{{AO}} \Rightarrow AA' = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.a = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).