Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AA′ = a, AB = a căn bậc hai của 2, AD = a. Tính góc giữa đường thẳng B′D và mặt phẳng (ABCD).

8/40

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA' = a,AB = a\sqrt 2 ,AD = a$. Tính góc giữa đường thẳng $B'D$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

$30^\circ $.

$45^\circ $.

$60^\circ $.

$90^\circ $.

Giải thích

$Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA' = a,AB = a\sqrt 2 ,AD = a$. Tính góc giữa đường thẳng $B'D$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. A. $30^\circ $. B. $45^\circ $. C. $60^\circ $. D. $90^\circ $. (ảnh 1)$

Có $BB' \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $BD$ là hình chiếu của $B'D$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Khi đó $\left( {B'D,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {B'D,BD} \right) = \widehat {B'DB}$.

Có $BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 $.

Vì $BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot BD$ nên $\Delta B'BD$ vuông tại $B$.

Xét $\Delta B'BD$ có $\tan \widehat {BDB'} = \frac{{BB'}}{{BD}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {BDB'} = 30^\circ $. Chọn A.