Cho khối chóp tứ giác đều S . A B C D có khoảng cách giữa hai đường thẳng B D và S A bằng √ 6 . Thể tích của khối chóp S . A B C D nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

99/100

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SA$ bằng $\sqrt 6 $. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

$18\sqrt 2 $

$24\sqrt 3 $

Giải thích

$Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SA$ bằng $\sqrt 6 $. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 12 B. $18\sqrt 2 $ C. $24\sqrt 3 $ D. 4 (ảnh 1)$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$ (vì $S.ABCD$ là khối chóp tứ giác đều)

Kẻ $OH \bot SA\left( {H \in SA} \right)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SO}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OH} \right.$

$ \Rightarrow OH$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $BD$ và $SA$

$ \Rightarrow d\left( {BD;SA} \right) = OH = \sqrt 6 $.

vuông tại $O$ có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{2}{{A{B^2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{2}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{S{O^2}}}.\frac{1}{{A{B^2}}}.\frac{1}{{A{B^2}}}}}$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{6} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{S{O^2}}}.\frac{1}{{A{B^4}}}}} \Leftrightarrow SO.A{B^2} \ge 54\sqrt 2 $

Khi đó: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}SO.A{B^2} \ge \frac{1}{3}.54\sqrt 2 = 18\sqrt 2 $

Chọn B