Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

 

Trong (SAD) kẻ DH⊥SAH∈SA, trong (SBD) kẻ DK⊥SBK∈SB.

Ta có:

SA⊥ADAB⊥SD⇒AB⊥SAD⇒AB⊥DH

DH⊥ABDH⊥SA⇒DH⊥SAB1

 

Gọi E là trung điểm của CD⇒ABED là hình vuông nên BE=AD=a=12CD⇒ΔBCD vuông tại B.

Ta có:

BC⊥BDBC⊥SD⇒BC⊥SBD⇒BC⊥DK

DK⊥BCDK⊥SB⇒DK⊥SBC2

 

Từ (1) và 2⇒∠SAB;SBC=∠DH;DK=300

Mà DH⊥SAB⇒DH⊥HK⇒ΔDHK vuông tại H⇒∠HDK=300

Đặt SD = x (x > 0) áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

DH=AD.SDAD2+SD2=a.xa2+x2

DK=BD.SDBD2+SD2=a2.a2a2+x2

Xét tam giác vuông DHK ta có: cos∠HDK=DHDK⇒axa2+x2:a2x2a2+x2=32

⇔2a2+x22a2+2x2=32

⇔42a2+x2=32a2+2x2

⇔8a2+4x2=6a2+6x2

⇔2a2=2x2⇔x=a

Ta có SABCD=12AB+CD.AD=12a+2a.a=3a22.

Vậy VS.ABCD=13SD.SABCD=13.a.3a22=a32.

Chọn D.