Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 6 cm, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và số đo của góc nhị diện [B, SC, D] bằng 120 độ . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng bao nh

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Kẻ \(OH \bot SC\) tại H. Khi đó xác định được góc nhị diện [B, SC, D]. Tìm độ dài SA.

Lời giải chi tiết.

Kẻ \(OH \bot SC\) tại H.

Vì \(BD \bot AC\), \(BD \bot SA \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot SC\).

Vì \(SC \bot OH\), \(SC \bot BD \Rightarrow SC \bot (HBD) \Rightarrow SC \bot BH\), \(SC \bot HD\).

Vì \(SC \bot BH\), \(SC \bot HD \Rightarrow \) góc nhị diện $[B,SC,D]=\widehat{BHD}={120}^{°}$

Xét tam giác BHD cân tại H có HO là đường trung tuyến suy ra HO đồng thời là tia phân giác \(\widehat {BHD}\).

Suy ra $\widehat{BHO}={60}^{°}$

Vì tứ giác ABCD là hình vuông có cạnh bằng 6 cm nên \(OB = \frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \).

Xét tam giác OHB vuông tại O có $OH=OB\cdot \cot \widehat{OHB}=3\sqrt{2}\cdot \cot {60}^{°}=\sqrt{6}$

Trong tam giác vuông SAC, xét hai tam giác đồng dạng OHC và SAC, ta có

\(\sin \widehat {HCO} = \sin \widehat {SCA} = \frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \widehat {SCA} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Suy ra \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{\sin \widehat {SCA}}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Mà \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow SA = AC \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 6\).

Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot {6^2} = 72\) (\(c{m^3}\)).