Cho khối chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 30°. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?

17/40

Cho khối chóp $S.ABCD$, có đáy là hình vuông cạnh $2a$, cạnh bên $SA$vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên $\left( {SBC} \right)$ tạo với đáy một góc $30^\circ $. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

$\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

$\frac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{9}$.

$\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{9}$.

Giải thích

$Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rig (ảnh 1)$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $AB \bot BC$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 30^\circ $.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, ta có $SA = AB \cdot \tan \widehat {SBA} = 2a \cdot \tan 30^\circ = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}$.

Thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{2\sqrt 3 a}}{3} \cdot 4{a^2} = \frac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{9}$. Chọn B.