Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 12

Tứ giác \[ABCD\]là hình vuông \[ \Rightarrow AB \bot AD\]. (1)

Có \[SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\]. (2)

Từ (1) và (2) ta có \[AB \bot \left( {SAD} \right)\]. Suy ra \[AB \bot SD\].

Hai đường thẳng \(AD\), \(SB\) chéo nhau và vuông góc, mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] chứa \[SD\]và vuông góc với \[AB\], cắt \[AB\] tại \[A\] nên gọi \[H\]là hình chiếu của \[A\] trên \[SD\] thì \[AH\] là đoạn vuông góc chung của \[AB\]và \[SD\]. Khi đó\[AH = d\left( {AB,SD} \right) = 6\sqrt 2 \].

Tam giác \[SAD\] vuông tại \[A\] có đường cao \[AH\]nên

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}} \Leftrightarrow SA = 12\].

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot {12^2} \cdot 12 = 576\).

Đáp án: 576.