Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành AB = 3, AD = 4, góc BAD = 120 độ. Cạnh bên SA = 2 căn 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

38/53

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành AB = 3, AD = 4, BAD^=120°. Cạnh bên SA=23 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD và BC, α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

α∈0°;30°

α∈30°;45°

α∈45°;60°

α∈60°;90°

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành AB = 3, AD = 4, góc BAD = 120 độ. Cạnh bên SA = 2 căn 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). (ảnh 1)

Với mọi điểm P∈BC ta có MNP≡BCNM≡MBC, do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP) bằng góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MBC).

Gọi H là hình chiếu của B lên AC thì BH⊥SAC nên ΔMHC là hình chiếu của ΔMBC lên (SAC).

Do đó SΔMHC=SΔMBC.cosα; MBC,SAC=α.

Gọi K là hình chiếu của A lên BC thì MK⊥BC.

Ta có AK=AB.sinABK^=3.sin60°=332

⇒MK=MA2+AK2=392⇒SΔMBC=12BC.MK=39

Ta có KB=AB.cosABK^=32⇒KC=52

⇒AC=AK2+KC2=13⇒BH=BC.AKAC=63913

⇒CH=BC2−BH2=101313⇒SΔMHC=12CH.MA=53913

Suy ra cosα=SΔMHCSΔMBC=5391339=513⇒α∈60°;90°.