Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng φ, với cosφ=13. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Đặt AD=x với x>0.

Trong mặt phẳng SAC: kẻ AH⊥SB tại H; trong mặt phẳng SAD, kẻ AK⊥SD tại K.

Dễ dàng chứng minh được AH⊥SBC, AK⊥SCD và H là trung điểm của SB.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Ta có: A0;0;0,Ba;0;0,S0;0;a,D0;x;0,Ha2;0;a2

Suy ra: SD→=0;x;−a,AS→=0;0;a,AH→=a2;0;a2.

Trong tam giác SAD vuông tại A có

                                        SA2=SK.SD⇔SKSD=SA2SD2=SA2SA2+AD2=a2a2+x2

                                   ⇒SK→=a2a2+x2SD→⇔AK→−AS→=a2a2+x2SD→

                                   ⇒AK→=a2a2+x2SD→+AS→⇔AK→=0;a2xa2+x2;ax2a2+x2.

Do AH→,AK→ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng SBC và SCD nên

                                                   cosφ=13⇔AH→.AK→AH→.AK→=13

                                                   ⇔3AH→.AK→=AH→.AK→

                                                   ⇔3.a2.ax2a2+x2=a22.a4x2a2+x22+a2x4a2+x22

            ⇔32.a2.x2a2+x2=22.a2xa2+x2.a2+x2⇔3x=2.a2+x2

                                                   ⇔3x2=2a2+2x2⇔x2=2a2⇔x=a2=AD.

Thể tích khối chóp S.ABCD là V=13SA.AB.AD=13.a.a.a2=a323.

Chọn đáp án B.