Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác

Gọi $M$là trung điểm của $BC$, $H$là hình chiếu vuông góc của $A$lên $SM$.

Vì $\Delta ABC$ đều mà $AM$ là trung tuyến nên $AM \bot BC$ (1).

Lại có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAM} \right)$$ \Rightarrow BC \bot AH$ mà $AH \bot SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Khi đó ta có $AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$. Ta có: $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}$.

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}$.

\[V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].