Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = 3a. Biết SA vuông góc AB, SB = SC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC bằng 2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC ta đ

21/35

Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \[B\], \[AB = 3a\]. Biết \[SA \bot AB\], \[SB = SC\] và khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SB,AC\] bằng \[2a\]. Tính theo \[a\] thể tích khối chóp \[S.ABC\]ta được kết quả là

\[\frac{{34{a^3}}}{2}\].

\[\frac{{34{a^3}}}{3}\].

\[\frac{{27{a^3}}}{4}\].

\[\frac{{27{a^3}}}{2}\].

Giải thích

Lời giải

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = 3a. Biết SA vuông góc AB, SB = SC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC bằng 2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC ta được kết quả là (ảnh 1)

Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[BC,AC\].

Trong mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], gọi \[H\] là giao điểm của \[MN\] và đường thẳng qua \[A\] vuông góc với \[AB\].

\[ \Rightarrow AH \bot AB\].

Mà \[SA \bot AB\] \[ \Rightarrow AB \bot \left( {SHA} \right) \Rightarrow AB \bot SH\].

Mặt khác: \[SB = SC\]\[ \Rightarrow \Delta SBC\] cân tại \[S\]\[ \Rightarrow SM \bot BC\].

Dễ thấy \[HM \bot BC\] \[ \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SH\].

Khi đó, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\AB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\].

Trong mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], gọi \[D\] là giao điểm của \[AH\] và đường thẳng qua \[B\] song song với \[AC\].

\[ \Rightarrow AC{\rm{//}}BD \Rightarrow AC{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\].

\[ \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 2a = \frac{2}{3}d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = 3a\].

Trong mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], kẻ \[HK \bot BD\], \[HK\] cắt \[AC\] tại \[I\]\[ \Rightarrow HI \bot AC\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SH\\BD \bot HK\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SHK} \right)\].

Trong mặt phẳng \[\left( {SHK} \right)\] kẻ \[HT \bot SK\], mà \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \bot \left( {SHK} \right)\\SK = \left( {SBD} \right) \cap \left( {SHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HT \bot \left( {SBD} \right)\]

\[ \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = HT\]. Suy ra \[HT = 3a\].

Tam giác \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \[B\], \[AB = 3a\].

\[ \Rightarrow AH = HN = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow HI = \frac{{3\sqrt 2 a}}{4} \Rightarrow HK = 3HI = \frac{{9\sqrt 2 a}}{4}\].

Tam giác \[SHK\] là tam giác vuông tại \[H\], có \[HT \bot SK\], \[HK = \frac{{9\sqrt 2 a}}{4}\], \[HT = 3a\].

\[ \Rightarrow \frac{1}{{H{S^2}}} = \frac{1}{{H{T^2}}} - \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{9{a^2}}} - \frac{8}{{81{a^2}}} = \frac{1}{{81{a^2}}}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}HS = 9a\].

Thể tích của khối chóp là \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot {\left( {3a} \right)^2} \cdot 9a = \frac{{27{a^3}}}{2}\]. Chọn D.