Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a căn bậc hai của 2. Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng BC và SA = a căn bậc hai của
27/35
Cho khối chóp \[S.ABC{\rm{ }}\]có đáy \[ABC{\rm{ }}\]là tam giác vuông cân tại \[A\], \[BC = a\sqrt 2 \]. Hình chiếu vuông góc \[H\] của \[S\] trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng \[BC\] và \[SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính thể tích \[V\] của khối chóp đã cho.
\(V = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{4}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Lời giải
Chọn A
Ta có \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SH\).Vì\[ABC{\rm{ }}\]là tam giác vuông cân tại \[A\], cạnh huyền \[BC = a\sqrt 2 \] nên \[AB = AC = a\].\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}\].Tam giác \[ABC{\rm{ }}\]vuông tại \[A\] có trung tuyến \[AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].Tam giác \[SAH\]vuông tại \[H\] có \[SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\].Vậy \(V = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).