Cho khối chóp S.ABC có A B = 4 a ; B C = 3 a √ 2 ; ˆ A B C = 45 ∘ và ˆ S A C = ˆ S B C = 90 ∘

21/22

Cho khối chóp S.ABC có $AB = 4a;\;BC = 3a\sqrt 2 ;\;\widehat {ABC} = 45^\circ $ và $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = 90^\circ $. Biết góc phẳng nhị diện $\left[ {A,SB,C} \right]$ là a với $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$. Biết rằng, thể tích của khối chóp S.ABC. có dạng $\frac{{x\sqrt y }}{z}{a^3}$, trong đó y là số nguyên tố và $\frac{x}{z}$ là phân số tối giản, $x,y \in N*$. Tính $x + y + z$.

Giải thích

$Cho khối chóp S.ABC có $AB = 4a;\;BC = 3a\sqrt 2 ;\;\widehat {ABC} = 45^\circ $ và $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = 90^\circ $ (ảnh 1)$

Đặt hệ trục toạ độ $Oxyz$, sao cho gốc toạ độ trùng với điểm $B$, tia $BA$ trùng tia $Ox$, tia $Oy$ đối xứng với tia $Ox$ qua tia $BC$ (do góc $\widehat {ABC} = 45^\circ $), tia $Oz$ vuông góc với $mp\left( {ABC} \right)$

Khi đó $B\left( {0;0;0} \right)$, $A\left( {4a;0;0} \right)$, $C\left( {3a;3a;0} \right)$ (do $C$ nằm trên tia phân giác góc $\widehat {xOy}$ nên ${x_C} = {y_C} = BC.\sin 45^\circ = 3a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 3a)$.

Gọi $S\left( {x;y;z} \right)$.

Từ $\overrightarrow {BC} \bot \overrightarrow {BS} $ suy ra $x + y = 0\quad \left( 1 \right)$ và $\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {AS} $ suy ra $x - 3y = 4a\quad \left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) có $x = a;\;y = - a$, do đó $S\left( {a; - a;z} \right)$.

Có VTPT của $mp\left( {SBA} \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BA} } \right] = \left( {0;az;{a^2}} \right) = a\left( {0;z;a} \right)$

Có VTPT của $mp\left( {SBC} \right)$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - az;az;2{a^2}} \right) = a\left( { - z;z;2a} \right)$

Gọi $\beta $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBA} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$, do$\beta $ bằng hoặc bù với $\alpha $ nên $\cos \beta = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt {14} }}{4}$$ = \frac{{\left| {{z^2} + 2{a^2}} \right|}}{{\sqrt {{z^2} + {a^2}} .\sqrt {2{z^2} + 4{a_2}} }} = \frac{{\sqrt {{z^2} + 2{a^2}} }}{{\sqrt {{z^2} + {a^2}} .\sqrt 2 }}$

$ \Leftrightarrow 2\sqrt {{z^2} + 2{a^2}} = \sqrt 7 .\sqrt {{z^2} + {a^2}} $$ \Leftrightarrow z = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Có $S = {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.4a.3a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 6{a^2}$ và $h = d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = {z_S} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Suy ra $V = \frac{1}{3}.6{a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$, do đó $x = 2;y = 3;z = 3$ nên $x + y + z = 8$.