Cho khối chóp S . A B C có đáy là tam giác đều, S A ⊥ ( A B C ) , S C = a √ 3 và S C hợp với đáy một góc 30 ∘ . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Đáp án

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Chiều cao của khối chóp bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).	X
Độ dài mỗi cạnh của tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{a}{3}\).		X
Thể tích của khối chóp là \(\frac{{9{a^3}}}{{32}}\).	X

Giải thích

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC\).

\(SC\) hợp với đáy một góc \({30^ \circ } \Rightarrow \widehat {SCA} = {30^ \circ }\).

Xét  vuông tại \(A\) có: \({\rm{sin}}{30^ \circ } = \frac{{SA}}{{SC}} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AC = \sqrt {S{C^2} - S{A^2}}  = \frac{{3a}}{2}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(AC = \frac{{3a}}{2}\) nên \({S_{ABC}} = {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}\) (đvdt).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{9\sqrt 3 {a^2}}}{{16}} = \frac{{9{a^3}}}{{32}}\) (đvtt).