Cho khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh L và chiều cao là h . Chọn trục Ox sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy (như hình dưới).
75/91
Cho khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh \(L\) và chiều cao là \(h\). Chọn trục \(Ox\) sao cho gốc \(O\) trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy (như hình dưới).
Đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng song song với \(Ox\).
Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le h} \right)\), cắt khối chóp theo mặt cắt là hình vuông cạnh \(a.\)
Diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \frac{L}{h}{x^2}\).
Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}{L^2}h\).
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(x = h\).
b) Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le h} \right)\), cắt khối chóp theo mặt cắt là hình vuông có cạnh là \(a\).
c) Theo định lí Tha-les, ta có \(\frac{x}{h} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{L}{2}}} \Rightarrow a = \frac{L}{h}x\).
Do đó, diện tích của mặt cắt này là \(S\left( x \right) = \frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}{x^2}\).
d) Thể tích của khối chóp này là \(V = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^h {\frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}{x^2}dx} = \left. {\left( {\frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{1}{3}{L^2}h\).