Cho khối chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ. Biết tổng diện tích của hai mặt đáy bằng 54 và độ dài đường chéo AC' = 9. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp cụt đã cho.

Đáp số: 144

Gọi \[I,\,\,J\]lần lượt là hình chiếu của \[A',\,\,C'\] lên \[(ABCD)\]

Gọi \[a,\,\,b\] lần lượt độ dài cạnh của đáy lơn và đáy bé.

Khi đó, \[{S_{ABCD}} = {a^2},\,\,{S_{A'B'C'D'}} = {b^2}\]

Theo đề ta có: \[{a^2} + {b^2} = 54\]; \[AC = a\sqrt 2 ,\,\,IJ = A'C' = b\sqrt 2 \]

Suy ra, \[AJ = AC - JC = a\sqrt 2  - \frac{{a\sqrt 2  - b\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2  + b\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a + b}}{{\sqrt 2 }}\]

Đặt \[a + b = x > 0\] ta có: \[AJ = \frac{x}{{\sqrt 2 }}\] và \[{x^2} = {(a + b)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 54 + 2ab \Rightarrow ab = \frac{{{x^2}}}{2} - 27\]

Xét tam giác \[AC'J\] vuông tại \[J\] ta có: \[h = C'J = \sqrt {A{{C'}^2} - A{J^2}}  = \sqrt {{9^2} - {{\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \sqrt {81 - \frac{{{x^2}}}{2}} \]

Thể tích khối chóp cụt là: \[V = \frac{1}{3}h\left( {{S_{ABCD}} + {S_{A'B'C'D'}} + \sqrt {{S_{ABCD}}.{S_{A'B'C'D'}}} } \right)\]

\[ = \frac{1}{3}\sqrt {81 - \frac{{{x^2}}}{2}} \left( {{a^2} + {b^2} + \sqrt {{a^2}.{b^2}} } \right) = \frac{1}{3}\sqrt {81 - \frac{{{x^2}}}{2}} \left( {54 + \sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 27} \right)}^2}} } \right) = \frac{1}{3}\sqrt {81 - \frac{{{x^2}}}{2}} \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 27} \right)\] (*)

Đặt \[t = \sqrt {81 - \frac{{{x^2}}}{2}}  \Rightarrow {t^2} = 81 - \frac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{2} = 81 - {t^2}\]

Thay vào (*) ta được: \[V = \frac{1}{3}t.(81 - {t^2} + 27) =  - \frac{1}{3}{t^3} + 36t\]

đặt \[f(t) =  - \frac{1}{3}{t^3} + 36t \Rightarrow f'(t) =  - {t^2} + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t =  - 6\,\,(L)\end{array} \right.\]

Vậy \[\max V = f(6) = 144\].