Cho khai triển P ( x ) = ( 1 + 2 x ) ( 3 + x )^11 . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Khai triển \(P\left( x \right)\) có 12 số hạng.		X
Hệ số của \({x^9}\) trong khai triển là 9045.	X
Hệ số tự do trong khai triển là 531441.		X

Giải thích

Ta có: \(P\left( x \right) = \left( {1 + 2x} \right){(3 + x)^{11}} = {(3 + x)^{11}} + 2x{(3 + x)^{11}}\)

\( = \mathop \sum \nolimits^ _{k = 0}^{11}C_{11}^k{.3^{11 - k}}.{x^k} + 2x\mathop \sum \nolimits^ _{m = 0}^{11}C_{11}^m{.3^{11 - m}}.{x^m}\)

\( = \mathop \sum \nolimits^ _{k = 0}^{11}C_{11}^k{.3^{11 - k}}.{x^k} + \mathop \sum \nolimits^ _{m = 0}^{11}C_{11}^m{.2.3^{11 - m}}.{x^{m + 1}}\)

Khi đó:

+, Khai triển \(P\left( x \right)\) có 13 số hạng.

+, Hệ số của \({x^9}\) trong khai triển là: \(C_{11}^9{.3^2} + C_{11}^8{.2.3^3} = 9045\) (với \(k = 9,m = 8\) ).

+, Hệ số tự do trong khai triển là: \(C_{11}^0{.3^{11}} = 177147\)