Cho Hypebol (H): (x^2)/16- (y^2)/9 = 1 và đường thẳng Delta :x + y = 3. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến Delta bằng giá trị nào sau đây?

28/38

Cho Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng \(\Delta :x + y = 3\). Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\) đến \(\Delta \) bằng giá trị nào sau đây?

\(16\);

\(8\);

\(64\);

\(7\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right.\)

Ta có \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25\).

Suy ra \(c = 5\).

Khi đó hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\) là \(\overrightarrow {{F_1}} \left( { - 5;0} \right),\overrightarrow {{F_2}} \left( {5;0} \right)\).

Ta có \(\Delta :x + y = 3 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).

Ta có \(d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt 2 \) và \[d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \].

Khi đó tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\) đến \(\Delta \) là: \(4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8\).

Vậy ta chọn phương án B.