Cho họ đường tròn (C) :{x^2} + {y^2} + 4mx + 2(m + 1)y - 1 = 0\).

20/22

Cho họ đường tròn \(\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} + 4mx + 2(m + 1)y - 1 = 0\).

Biết rằng khi \(m\) thay đổi thì \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn qua hai điểm cố định. Tìm tọa độ hai điểm đó.

Giải thích

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua với mọi \(m\).

Ta có: \(x_0^2 + y_0^2 + 4m{x_0} + 2(m + 1){y_0} - 1 = 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4m{x_0} + 2m{y_0} + x_0^2 + y_0^2 + 2{y_0} - 1 = 0,\forall m \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left( {4{x_0} + 2{y_0}} \right)m + x_0^2 + y_0^2 + 2{y_0} - 1 = 0,\forall m \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_0} + 2{y_0} = 0}\\{x_0^2 + y_0^2 + 2{y_0} - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} = - 2{x_0}}\\{x_0^2 + {{\left( { - 2{x_0}} \right)}^2} + 2\left( { - 2{x_0}} \right) - 1 = 0}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)\(\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} = - 2{x_0}}\\{5x_0^2 - 4{x_0} - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 1}\\{{y_0} = - 2}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = - \frac{1}{5}}\\{{y_0} = \frac{2}{5}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy với mọi số thực \(m\) thì \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm \((1; - 2),\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\).