Cho họ đường tròn (C):{x^2} + {y^2} + 4mx + 2(m + 1)y - 1 = 0\).

Đặt \(a = \frac{{4m}}{{ - 2}} =  - 2m,b = \frac{{2(m + 1)}}{{ - 2}} =  - (m + 1),c =  - 1\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} - c = 4{m^2} + {(m + 1)^2} + 1 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) nên \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn là đường tròn với mọi số thực \(m\).

Bán kính đường tròn là:

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {5{m^2} + 2m + 2}  = \sqrt {5{{\left( {m + \frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{9}{5}}  \ge \sqrt {\frac{9}{5}} .\)

Vậy bán kính nhỏ nhất của đườn tròn \({R_{\min }} = \sqrt {\frac{9}{5}} \); khi đó \(m =  - \frac{1}{5}\).