Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm thay đổi trên cạnh BC (E khác B,C). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE và cắt tia CD tại F. a) Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp.

7/8

Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $E$ là một điểm thay đổi trên cạnh $BC$ ($E$ khác $B,\,\,C$). Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AE$ và cắt tia $CD$ tại $F$.

a) Chứng minh tứ giác $AECF$ nội tiếp.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $EF$, tia $AI$ cắt $CD$ tại $K$.

Chứng minh $FI.FE = FK.FC$.

c) Gọi $L$ là giao điểm của $BI$ và $AE$. Chứng minh rằng khi $E$ thay đổi trên cạnh $BC$ thì số đo của góc $LCI$ không đổi.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Vậy số chuyến xe ít nhất cần để vận chuyển hết đống cá (ảnh 1)

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat {ECF} = 90^\circ $ suy ra $\Delta ECF$ vuông tại $C$, suy ra $\Delta ECF$ nội tiếp đường tròn đường kính $EF.$

Do đó ba điểm $C,\,\,E,\,\,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EF$ (1).

Ta có $AE \bot AF$ tại $A$ nên $\Delta AEF$ vuông tại $A$, suy ra $\Delta AEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $EF.$ Do đó ba điểm $A,\,\,E,\,\,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EF$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $A,\,\,E,\,\,C,\,\,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EF.$

Vậy tứ giác $AECF$ nội tiếp.

b) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat {ACD} = 45^\circ $.

Ta có tứ giác $AECF$ nội tiếp nên $\widehat {ACF} = \widehat {AEF} = 45^\circ $ (cùng chắn cung \[AF\]).

Mà $\Delta AEF$ vuông tại $A$ nên $\Delta AEF$ vuông cân tại $A$.

Hơn nữa \[I\] là trung điểm của $EF$ nên \[AI\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của $\Delta AEF.$

Suy ra $AI \bot EF$ hay $AK \bot EF$.

Xét $\Delta CEF$ và $\Delta IKF$ có: $\widehat {CFE}$ chung; $\widehat {FIK} = \widehat {ECF} = 90^\circ .$

Suy ra $Δ C E F ∽ Δ I K F$ (g.g) nên \[\frac{{CF}}{{IF}} = \frac{{EF}}{{KF}}\].

Vậy $FI \cdot FE = FK \cdot FC$.

c) Ta có $\Delta AEF$ vuông cân tại $A$. Hơn nữa \[I\] là trung điểm của $EF$ nên \[AI\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của $\Delta AEF$. Suy ra $\widehat {EAI} = 45^\circ $ và $IA = IE$.

Ta có $\Delta CEF$ vuông tại $C$ có \[I\] là trung điểm của $EF$ nên $IC = IE$.

Suy ra $IC = IA$ nên \[I\] thuộc đường trung trực của \[AC.\]

Ta lại có $ABCD$ là hình vuông nên \[BD\] là đường trung trực của \[AC.\]

Do đó bốn điểm $B,\,\,L,\,\,I,\,\,D$ thẳng hàng.

Suy ra $LA = LC$.

Xét $\Delta LAI$ và $\Delta LCI$ có:

$LA = LC$ (cmt); $IC = IA$ (cmt); cạnh IL chung

Suy ra $\Delta LAI = \Delta LCI$ (c.c.c). Khi đó $\widehat {LAI} = \widehat {LCI} = 45^\circ $.

Vậy khi $E$ thay đổi trên cạnh $BC$ thì số đo của góc $LCI$ không đổi.