Cho hình vuông C1 có độ dài cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông C2

Giải chi tiết:

Xét dãy \(({a_n})\)là độ dài cạnh của dãy hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3}, \ldots ,{C_n} \ldots \)với \({a_1} = 4.\)

Ta có \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}{a_1}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}{a_1}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}{a_1}.\)

...

\({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}{a_n}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}{a_n}.\)

Vậy dãy \(({a_n})\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(\frac{{\sqrt {10} }}{4}.\)

Ta có \({S_{n + 1}} = {({a_{n + 1}})^2} = {\left( {{a_n} \cdot \frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = {({a_n})^2} \cdot \frac{5}{8} = {S_n} \cdot \frac{5}{8}.\)

Suy ra dãy \(({S_n})\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{5}{8}\) và \({S_1} = 16.\)

Vậy \({S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots + {S_n} + \ldots = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{16}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{128}}{3}.\)