Cho hình vuông (C1) có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (C2) (như hình vẽ).
18/21
Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) (như hình vẽ). Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3}, \ldots ,{C_n}\), …. Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\) (\(i \in \left\{ {1,2,3, \ldots } \right\}\)).
Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots + {S_n} + \ldots \). Biết \(T = 8\), tìm \(a\) (làm tròn đến hàng phần chục).
Vì cạnh hình vuông \({C_1}\) là \(a\) nên diện tích \({S_1} = {a^2}\).
Khi chia cạnh thành 4 phần bằng nhau, các đoạn thẳng được tạo ra có độ dài lần lượt là \(\frac{1}{4}\) và \(\frac{3}{4}\) cạnh của hình vuông trước đó. Cạnh của hình vuông \({C_2}\) theo định lý Pythagore là:
\({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{{16}}{a^2} + \frac{9}{{16}}{a^2}} = a\sqrt {\frac{{10}}{{16}}} \).
Khi đó diện tích hình vuông \({C_2}\) là: \({S_2} = a_2^2 = \frac{{10}}{{16}}{a^2} = \frac{5}{8}{S_1}\).
Tương tự, dãy diện tích \(\left( {{S_n}} \right)\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{5}{8} < 1\).
Tổng diện tích vô hạn là: \(T = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{3}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3}\).
Theo bài ra \(T = 8\): \(\frac{{8{a^2}}}{3} = 8 \Rightarrow {a^2} = 3 \Rightarrow a = \sqrt 3 \approx 1,732\).
Làm tròn đến hàng phần chục, ta được \(a \approx 1,7\).
Kết quả: 1,7.