Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 1. Gọi C2 là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C1; C3 là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh

67/95

Cho hình vuông \({C}_{1}\) có cạnh bằng 1. Gọi \({C}_{2}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông \({C}_{1};{C}_{3}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông \({C}_{2};…\) Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông \({C}_{1};{C}_{2};{C}_{3};…{C}_{n};…\). Diện tích của hình vuông \({C}_{2025}\) có dạng \(\frac{1}{{2}^{a}}\). Tìm a.

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi \({u}_{n}\) là cạnh của hình vuông \({C}_{n}\).

Ta có: \({u}_{1}=1;{u}_{2}=\frac{`c}{2}.{u}_{1}\sqrt[]{2}={u}_{1}.\frac{v-}{2};{u}_{3}=\frac{`c}{2}.{u}_{2}\sqrt[]{2}={u}_{2}.\frac{v-}{2};…\)

Cứ như vậy, dãy số ( \({u}_{n}\) ) lập thành cấp số nhân có số hand đầu \({u}_{1}=1\), công bội \(q=\frac{\sqrt[]{2}}{2}\).

Do đó, \({u}_{2025}={\left. \frac{\sqrt[]{2}}{2} \right.}^{2024}\) nên diện tích hình vuông \({C}_{2025}\) là: \({u}_{2025}^{2}=\frac{1}{{2}^{2024}}\).

Vậy \(a=2024\).

Đáp án: 2024

Mở rộng:

Số hạng \(uₙ:uₙ ={u}^{1}⋅ q{ⁿ}^{-1}.\)