Cho hình vuông \({C_1}\) có cạnh bằng \(1\). Gọi \({C_2}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh

44/44

Cho hình vuông \({C_1}\)có cạnh bằng \(1\). Gọi \({C_2}\)là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông \({C_1}\); \({C_3}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông \({C_2}\);... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông\({C_1};{C_2};{C_3};...{C_n};...\) Diện tích của hình vuông \({C_{2025}}\) có dạng \(\frac{1}{{{2^a}}}\). Tìm\(a\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Gọi \({u_n}\) là cạnh của hình vuông \({C_n}\).

Ta có: \({u_1} = 1;\,\,{u_2} = \frac{1}{2}{u_1} \cdot \sqrt 2 = {u_1} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,{u_3} = \frac{1}{2}{u_2} \cdot \sqrt 2 = {u_2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2};...\)

Cứ như vậy, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1,\)công bội \(q = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, \({u_{2025}} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2024}}\)nên diện tích hình vuông \({C_{2025}}\) là:\(u_{2025}^2 = \frac{1}{{{2^{2024}}}}\). Vậy \(a = 2024\).

Đáp án:\(2024\).